摘要：在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.AB=2.BC=a.又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时.BD⊥平面PAC?试证明你的结论. (2)当a=4时.求证:BC边上存在一点M.使得PM⊥DM. (3)若在BC边上至少存在一点M.使PM⊥DM.求a的取值范围. 分析:本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件.即BD垂直平面PAC内两相交直线.易知BD⊥PA.问题归结为a为何值时.BD⊥AC.从而知ABCD为正方形. (1)解:当a=2时.ABCD为正方形.则BD⊥AC. 又∵PA⊥底面ABCD.BD平面ABCD. ∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC. 故当a=2时.BD⊥平面PAC. (2)证明:当a=4时.取BC边的中点M.AD边的中点N.连结AM.DM.MN. ∵ABMN和DCMN都是正方形. ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°.即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD.由三垂线定理得.PM⊥DM.故当a=4时.BC边的中点M使PM⊥DM. (3)解:设M是BC边上符合题设的点M. ∵PA⊥底面ABCD.∴DM⊥AM. 因此.M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点.则AD≥2AB.即a≥4为所求. 评述:本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此.立体几何解题中.要注意有关的平面几何知识的运用.事实上.立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的. 探究创新

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