Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M在线段PD上，且AM⊥MC．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AM，利用AM⊥MC，可得AM⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，即可证明平面ABM⊥平面PCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量

n

=(2，-1，1)，

CD

=(-2，0，0)，利用向量的夹角公式即可得到结论；
（3）确定平面ACD的法向量为

n1

=(0，0，1)，平面ACM的法向量为

n

=(2，-1，1)，利用向量的夹角公式即可求二面角M-AC-D的余弦值．

解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，
∵AM⊥MC，CD∩MC=C
∴AM⊥平面PCD，
∵AM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：以A为坐标原点，AB为x轴，建立空间直角坐标系，如图．
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
由于PA=AD，AM⊥PD，∴M是PD的中点，∴M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

AC

=0，

n

•

AM

=0可得：

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，则

n

=(2，-1，1)．
设CD与平面ACM所成的角为α，又

CD

=(-2，0，0)，则sinα=|cos＜

CD

，

n

＞|=|

CD • n

| CD |•| n |

|=

6

3

．
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为

6

3

．
（3）解：由于PA⊥平面ACD，取平面ACD的法向量为

n1

=(0，0，1)，平面ACM的法向量为

n

=(2，-1，1)，
∴cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n |•| n1 |

=

6

6

．
∴二面角M-AC-D的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面角、面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确求平面的法向量是关键．