摘要：(理)已知l1.l2是过点P(-.0)的两条互相垂直的直线.且l1.l2与双曲线 y2-x2＝1各有两个交点.分别为A1.B1和A2.B2. (1)求l1的斜率k1的取值范围, (2)若|A1B1|＝|A2B2|.求l1.l2的方程. 解:(1)显然l1.l2斜率都存在.否则l1.l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1.则l1的方程为y＝k1(x+). 联立得 y＝k1(x+). y2-x2＝1.消去y得 (k12-1)x2+2k12x+2k12-1＝0. ① 根据题意得k12-1≠0. ② Δ1＞0.即有12k12-4＞0. ③ 完全类似地有-1≠0. ④ Δ2＞0.即有12·-4＞0. ⑤ 从而k1∈(-.-)∪(.)且k1≠±1. (2)由弦长公式得 |A1B1|＝. ⑥ 完全类似地有 |A2B2|＝. ⑦ ∵|A1B1|＝|A2B2|. ∴k1＝±.k2＝.从而 l1:y＝(x+).l2:y＝-(x+)或l1:y＝-(x+).l2:y＝(x+)． (文)在双曲线-＝1上求一点M.使它到左右两焦点的距离之比为3∶2.并求M点到两准线的距离． 解:设M(x1.y1).左右两焦点F1.F2.由双曲线第二定义得 |MF1|＝ex1+a.|MF2|＝ex1-a. 由已知2(ex1+a)＝3(ex1-a). 把e=.a=4代入.得x1＝16.y1＝±3. ∴点M的坐标为(16.±3). 双曲线准线方程为x=±=±. ∴M(16.±3)到准线的距离为12或19． 探究创新

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