Question

已知l₁、l₂是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²－x²＝1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂.

（Ⅰ）求l₁的斜率k₁的取值范围；

（Ⅱ）（理）若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程.

（文）若A₁恰是双曲线的一个顶点，求|A₂B₂|的值.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）依题设l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P（－，0）且与双曲线有两个交点，故方程  ①k1≠0有两个不同的解 整理得（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0　　　　  ② 若k12－1＝0，则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点与题设 矛盾，故k12－1≠0即k12≠1 所以方程②的判别式Δ＝（2k12）2－4（k12－1）（2k12－1）＝4（3k12－1） 又设l2的斜率为k2，l2过点P（－，0）且与双曲线有 两个交点，故方程组   ③有两个不同的解 整理得（k22－1）x2＋2k22x＋2k22－1＝0　　　　  ④ 同理有k22－1≠0，Δ＝4（3k22－1） 因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1 所以l1、l2与双曲线各有两个交点等价于 整理得 ∴k1∈（－，－1）∪（－1，）∪（，1）∪（1，） （Ⅱ）（理）设A1（x1，y1）、B1（x2，y2）由方程②知 ． 所以|A1B1|2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k12）（x1－x2）2 ＝　　　　　　 ⑤ 同理，由方程④可得 |A2B2|2＝　　 ⑥ 由|A1B1|＝|A2B2|得|A1B1|2＝|A2B2|2， 将⑤、⑥代入上式得 解得k1＝±． 取k1＝时， l1：y＝（x＋），l2：y＝－（x＋）； 取k1＝－时， l1：y＝－（x＋），l2：y＝（x＋）． （Ⅱ）（文）双曲线y2－x2=1的顶点为（0，1）、（0，－1）. 取A1（0，1）时，有：k1（0+）=1，∴k1=，从而k2=－=－. 将k2=－代入④，得x2+4x+3=0　　　　  ⑦ 记直线l2与双曲线的两交点为A2（x1，y1）、B2（x2，y2） 则|A2B2|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=3（x1－x2）2=3［（x1+x2）2－4x1x2］ 由⑦，知x1+x2=－4，x1·x2=3，∴|A2B2|2=60 即|A2B2|=2. 当取A1（0，－1）时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知|A2B2|=2. 所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2.