摘要：下列四个命题:①经过定点P0(x0.y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示,②经过任意两个不同的点P1(x1.y1).P2(x2.y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(x-x1)=(y2-y1)(y-y1)表示,③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示,④经过定点 A(0.b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:对命题①④.方程不能表示倾斜角是90°的直线.对命题③.当直线平行于一条坐标轴时.则直线在该坐标轴上截距不存在.故不能用截距式表示直线.只有②正确. 答案:B ●典例剖析 [例1] 已知△ABC的三个顶点是A.B(0.3).C.求它的三条边所在的直线方程. 剖析:一条直线的方程可写成点斜式.斜截式.两点式.截距式和一般式等多种形式.使用时.应根据题目所给的条件恰当选择某种形式.使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上.点C在x轴上.于是BC边所在的直线方程用截距式表示.AB所在的直线方程用斜截式的形式表示.AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可.最后为统一形式.均化为直线方程的一般式. 解:如下图.因△ABC的顶点B与C的坐标分别为.故B点在y轴上.C点在x轴上.即直线BC在x轴上的截距为-6.在y轴上的截距为3.利用截距式.直线BC的方程为+=1. 化为一般式为x-2y+6=0. 由于B点的坐标为(0.3).故直线AB在y轴上的截距为3.利用斜截式.得直线AB的方程为y=kx+3. 又由顶点A在其上.所以-4=3k+3.故k=-. 于是直线AB的方程为y=-x+3.化为一般式为7x+3y-9=0. 由A.C. 得直线AC的斜率kAC==-. 利用点斜式得直线AC的方程为 y-0=-(x+6). 化为一般式为4x+9y+24=0. 也可用两点式.得直线AC的方程为 =. 再化简即可. 评述:本题考查了求直线方程的基本方法. [例2] 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2.3).求过两点Q1(a1.b1).Q2(a2.b2)(a1≠a2)的直线方程. 剖析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答. 解:∵P(2.3)在已知直线上. ∴ 2a1+3b1+1=0. 2a2+3b2+1=0. ∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.即=-. ∴所求直线方程为y-b1=-(x-a1). ∴2x+3y-(2a1+3b1)=0.即2x+3y+1=0. 评述:此解法运用了整体代入的思想.方法巧妙. 思考讨论 依“两点确定一直线 .那么你又有新的解法吗? 提示: 由 2a1+3b1+1=0. 2a2+3b2+1=0. 知Q1.Q2在直线2x+3y+1=0上. [例3] 一条直线经过点P(3.2).并且分别满足下列条件.求直线方程: (1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍, (2)与x.y轴的正半轴交于A.B两点.且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 剖析:(2)将面积看作截距a.b的函数.求函数的最小值即可. 解:(1)设所求直线倾斜角为θ.已知直线的倾斜角为α.则θ＝2α.且tanα＝.tanθ＝tan2α＝. 从而方程为8x-15y+6=0. (2)设直线方程为+＝1.a＞0.b＞0.代入P(3.2).得+＝1≥2.得ab≥24. 从而S△AOB＝ab≥12. 此时＝.∴k＝-＝-. ∴方程为2x+3y-12=0. 评述:此题(2)也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值. 深化拓展 若求|PA|·|PB|及|OA|+|OB|的最小值.又该怎么解呢? 提示: 可类似第(2)问求解. ●闯关训练 夯实基础

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