摘要：等差数列{an}中.a1=2.公差不为零.且a1.a3.a11恰好是某等比数列的前三项.那么该等比数列公比的值等于 . 解析:设a1.a3.a11成等比.公比为q.a3=a1·q=2q.a11=a1·q2=2q2.又{an}是等差数列.∴a11=a1+5(a3-a1).∴q=4. 答案:4 ●典例剖析 [例1] 已知{an}是等比数列.a1=2.a3=18,{bn}是等差数列.b1=2.b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20. (1)求数列{bn}的通项公式, (2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式, (3)设Pn=b1+b4+b7+-+b3n-2. Qn=b10+b12+b14+-+b2n+8. 其中n=1.2.-.试比较Pn与Qn的大小.并证明你的结论. 剖析:将已知转化成基本量.求出首项和公比后.再进行其他运算. 解:(1)设{an}的公比为q.由a3=a1q2得q2==9.q=±3. 当q=-3时.a1+a2+a3=2-6+18=14＜20. 这与a1+a2+a3＞20矛盾.故舍去. 当q=3时.a1+a2+a3=2+6+18=26＞20.故符合题意. 设数列{bn}的公差为d.由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26. 又b1=2.解得d=3.所以bn=3n-1. (2)Sn==n2+n. (3)b1.b4.b7.-.b3n-2组成以3d为公差的等差数列. 所以Pn=nb1+·3d=n2-n, b10.b12.b14.-.b2n+8组成以2d为公差的等差数列.b10=29. 所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n. Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19). 所以.对于正整数n.当n≥20时.Pn＞Qn, 当n=19时.Pn=Qn, 当n≤18时.Pn＜Qn. 评述:本题主要考查等差数列.等比数列等基本知识.考查逻辑思维能力.分析问题和解决问题的能力. [例2] (2005年北京东城区模拟题)已知等差数列{an}的首项a1=1.公差d＞0.且第二项.第五项.第十四项分别是等比数列{bn}的第二项.第三项.第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式, (2)设数列{cn}对任意正整数n均有+++-+=(n+1)an+1成立.其中m为不等于零的常数.求数列{cn}的前n项和Sn. 剖析:(1)依已知可先求首项和公差.进而求出通项an和bn,(2)由题先求出{an}的通项公式后再求Sn. 解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.整理得2a1d=d2. ∵a1=1.解得d=2(d=0不合题意舍去). ∴an=2n-1(n=1.2.3.-). 由b2=a2=3.b3=a5=9.易求得bn=3n-1(n=1.2.3.-). (2)当n=1时.c1=6, 当n≥2时.=(n+1)an+1-nan=4n+1. ∴cn=(4n+1)mn-1bn=(4n+1)(3m)n-1. ∴cn= 当3m=1.即m=时. Sn=6+9+13+-+(4n+1) =6+ =6+(n-1)(2n+5)=2n2+3n+1. 当3m≠1.即m≠时. Sn=c1+c2+-+cn.即 Sn=6+9·(3m)+13·(3m)2+-+(4n-3)(3m)n-2+(4n+1)(3m)n-1. ① 3mSn=6·3m+9·(3m)2+13·(3m)3+-+(4n-3)(3m)n-1+(4n+1)(3m)n. ② ①-②得 (1-3m)Sn=6+3·3m+4·(3m)2+4·(3m)3+-+4·(3m)n-1-(4n+1)(3m)n =6+9m+4［(3m)2+(3m)3+-+(3m)n-1］-(4n+1)(3m)n =6+9m+-(4n+1)(3m)n. ∴Sn=+. ∴Sn= 评述:本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法 “错位相减求和法 等. [例3] (2005年北京海淀区模拟题)在等比数列{an}(n∈N*)中.a1＞1.公比q＞0.设bn=log2an.且b1+b3+b5=6.b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列, (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an, (3)试比较an与Sn的大小. 剖析:先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论. (1)证明:∵bn=log2an.∴bn+1-bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q. (2)解:∵b1+b3+b5=6.∴b3=2. ∵a1＞1.∴b1=log2a1＞0. ∵b1b3b5=0.∴b5=0. ∴解得 ∴Sn=4n+×(-1)=. ∵∴ ∴an=25-n(n∈N*). (3)解:显然an=25-n＞0.当n≥9时.Sn=≤0. ∴n≥9时.an＞Sn. ∵a1=16.a2=8.a3=4.a4=2.a5=1.a6=.a7=.a8=.S1=4.S2=7.S3=9.S4=10.S5=10.S6=9.S7=7.S8=4. ∴当n=3.4.5.6.7.8时.an＜Sn, 当n=1.2或n≥9时.an＞Sn. 评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想. ●闯关训练 夯实基础

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