Question

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较大的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1

25

，求角θ的正切值．

Answer 1

分析：设较大的锐角∠ABF为θ，根据大正方形的面积求出边长AB，由小正方形的面积求出边长EF，在直角三角形ABF中，根据锐角三角形函数定义表示出AF和FB，由大正方形面积减去小正方形得到四个直角三角形的面积，即可求出直角三角形ABF的面积，而三角形ABF的面积可以用直角边AF和FB乘积的一半来求出，两种方法求出的面积相等，列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简，得到sin2θ的值，利用万能公式得出关于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值．

解答：解：如图，由已知得：∠ABF=θ，(

π

4

＜θ＜

π

2

)，AB=1，EF=

1

5

，
∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，（6分）
∵S_△ABF=

1

4

（S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}）=

1

4

（1-

1

25

）=

6

25

，
且S_△ABF=

1

2

AF•BF=

1

2

sinθcosθ，
∴

1

2

sinθcosθ=

6

25

，
∴sin2θ=

24

25

=

2tanθ

1+tan2θ

，
化简得：12tan²θ-25tanθ+12=0，
解得：tanθ=

4

3

或tanθ=

3

4

（θ为较大的锐角，不合题意，舍去）（10分）
∴tanθ=

4

3

．（12分）

点评：此题考查了锐角函数定义，二倍角的正弦函数公式，以及万能公式，本题的思路为：借助图形，根据题意得出直角三角形ABF的面积，进而得到sin2θ的值，利用万能公式得到关于tanθ的方程，可求出tanθ的值，同时根据θ为较大的锐角，得到tanθ的值大于1，舍去不合题意的tanθ的值．