摘要：二次函数与二次不等式密切相关.借助二次函数的图象和性质.可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如: (1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是(-∞.α］∪［β.+∞)a＜0且f(α)=f(β)=0. (2)当a＞0时.f(α)＜f(β)|α+|＜|β+|, 当a＜0时.f(α)＜f(β)|α+|＞|β+|. (3)当a＞0时.二次不等式f(x)＞0在［p.q］上恒成立或或 (4)f(x)＞0恒成立或 f(x)＜0恒成立或 拓展题例 [例1] 已知当m∈R时.函数f(x)＝m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点.求实数a的取值范围. 解:(1)m=0时.f(x)=x-a是一次函数.它的图象恒与x轴相交.此时a∈R. (2)m≠0时.由题意知.方程mx2+x-(m+a)＝0恒有实数解.其充要条件是Δ＝1+4m(m+a)＝4m2+4am+1≥0.又只需Δ′＝(4a)2-16≤0.解得-1≤a≤1.即a∈［-1.1］. ∴m＝0时.a∈R, m≠0时.a∈［-1.1］. 评述:g(a)是a的函数.可作出g(a)的草图来求最大值. [例2] 已知f(x)＝ax2+bx+c的图象过点.是否存在常数a.b.c.使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立? 解:∵f(x)的图象过点. ∴a-b+c=0 ① ∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立. ∴当x=1时也成立.即1≤a+b+c≤1. 故有a+b+c＝1. ② 由①②得b=.c=-a. ∴f(x)＝ax2+x+-a. 故x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立. 也即恒成立 解得a=.∴c=-a=. ∴存在一组常数a=.b=.c=.使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立. 评述:赋值法可以使“探索性 问题变得比较明朗.它是解决这类问题比较常用的方法.

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