Question

已知二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且该函数与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2

2

．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求不等式f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）先设出二次函数的解析式，由图象在y轴上截距为1，可求得c，再由被x轴截得的线段长为2

2

和对称轴方程为可得关于a，b的两个关系式进而求解．
（2）按照一元二次不等式解法解出即可．

解答：解：设二次函数为：y=ax²+bx+c
∵图象与y轴交于点（0，1），
∴c=1
此时y=ax²+bx+1
∵f（-2+k）=f（-2-k）∴对称轴方程为x=-2
∴-

b

2a

=-2
∵被x轴截得的线段长为2

2

，
|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=8
即(-

b

a

)2-

4

a

=8
∴a=

1

2

，b=2
∴二次函数的解析式为y=

1

2

x²+2x+1
（2）不等式f（x）≤0即为

1

2

x²+2x+1≤0
由

1

2

x²+2x+1=0得x=-2-

2

或x=-2+

2

∴

1

2

x²+2x+1≤0的解集为{x|-2-

2

≤x≤-2+

2

}

点评：本题考查二次函数的图象和性质，一元二次不等式解法．对于二次函数图象要从以下几个方面把握：开口方向，对称轴，与坐标轴交点情况．二次函数图象涉及到与y轴的交点可得c，方程的根可得区间长度，对称轴可知a，b的关系等．