摘要：已知集合A＝{0.1}.B＝{x|x∈A.x∈N*}.C＝{x|xA}.则A.B.C之间的关系是 . 解析:用列举法表示出B＝{1}.C＝{.{1}.{0}.A}.易见其关系.这里A.B.C是不同层次的集合.C以A的子集为元素.同一层次的集合可有包含关系.不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案:BA.A∈C.B∈C ●典例剖析 [例1] 函数f(x)=其中P.M为实数集R的两个非空子集.又规定f(P)={y|y=f(x).x∈P}.f(M)={y|y=f(x).x∈M}.给出下列四个判断.其中正确判断有 ①若P∩M=.则f(P)∩f(M)= ②若P∩M≠.则f(P)∩f(M)≠ ③若P∪M=R.则f(P)∪f(M)=R ④若P∪M≠R.则f(P)∪f(M)≠R A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 剖析:由题意知函数f(P).f(M)的图象如下图所示. 设P=［x2.+∞).M=(-∞.x1］.∵|x2|＜|x1|.f(P)=［f(x2).+∞).f(M)=［f(x1).+∞).则P∩M=. 而f(P)∩f(M)=［f(x1).+∞)≠.故①错误.同理可知②正确.设P=［x1.+∞).M=(-∞.x2］.∵|x2|＜|x1|.则P∪M=R. f(P)=［f(x1).+∞).f(M)=［f(x2).+∞). f(P)∪f(M)=［f(x1).+∞)≠R.故③错误.同理可知④正确. 答案:B [例2] 已知A={x|x3+3x2+2x＞0}.B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}.A∪B＝{x|x＞-2}.求a.b的值. 解:A={x|-2＜x＜-1或x＞0}. 设B=［x1.x2］.由A∩B=(0.2］知x2＝2. 且-1≤x1≤0. ① 由A∪B=知-2≤x1≤-1. ② 由①②知x1＝-1.x2＝2. ∴a＝-(x1+x2)＝-1.b＝x1x2＝-2. 评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义.熟练掌握在数轴上表示区间的交与并的方法. 深化拓展 记函数f(x)=的定义域为A.g(x)= lg［(x-a-1)(2a-x)］(a＜1)的定义域为B. (1)求A, (2)若BA.求实数a的取值范围. 提示:(1)由2-≥0.得≥0. ∴x＜-1或x≥1.即A=. (2)由(x-a-1)(2a-x)＞0.得(x-a-1)(x-2a)＜0. ∵a＜1.∴a+1＞2a.∴B=(2a.a+1). ∵BA.∴2a≥1或a+1≤-1.即a≥或a≤-2. 而a＜1.∴≤a＜1或a≤-2. 故当BA时.实数a的取值范围是(-∞.-2］∪［.1). [例3] 设集合P={m|-1＜m≤0}.Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立}.则下列关系中成立的是 A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q 剖析:Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立}. 对m分类:①m=0时.-4＜0恒成立, ②m＜0时.需Δ=(4m)2-4×m×(-4)＜0.解得m＜0. 综合①②知m≤0.∴Q={m∈R|m≤0}. 答案:A 评述:本题容易忽略对m=0的讨论.应引起大家足够的重视. [例4] 已知集合A={(x.y)|x2+mx-y+2=0}.B={(x.y)|x-y+1=0.0≤x≤2}.如果A∩B≠.求实数m的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内.此题的思维方法是很难找到的.事实上.集合符号在本题中只起了一种“化妆品 的作用.它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点.求实数m的取值范围 .这种数学符号与数学语言的互译.是考生必须具备的一种数学素质. 解:由得 x2+(m-1)x+1=0. ① ∵A∩B≠.∴方程①在区间［0.2］上至少有一个实数解. 首先.由Δ=(m-1)2-4≥0.得m≥3或m≤-1. 当m≥3时.由x1+x2=-(m-1)＜0及x1x2=1知.方程①只有负根.不符合要求, 当m≤-1时.由x1+x2=-(m-1)＞0及x1x2=1＞0知.方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0.1］内.从而方程①至少有一个根在区间［0.2］内. 综上所述.所求m的取值范围是(-∞.-1］. 评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上.本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解. 深化拓展 设m∈R.A={(x.y)|y=-x+m}.B={(x.y)|x=cosθ.y=sinθ.0＜θ＜2π}.且A∩B={(cosθ1.sinθ1).(cosθ2.sinθ2)}(θ1≠θ2).求m的取值范围. 提示:根据题意.直线y=-x+m与圆x2+y2=1(x≠1)交于两点. ∴＜1且0≠-×1+m. ∴-2＜m＜2且m≠. 答案:-2＜m＜2且m≠. ●闯关训练 夯实基础

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