摘要：例6. 求证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆.必与此抛物线的准线相切. 证明:如图5.设抛物线的准线为.过A.B两点分别作AC.BD垂直于.垂足分别为C.D.取线段AB中点M.作MH垂直于H. 图5 由抛物线的定义有: ∵ABDC是直角梯形 即为圆的半径.而准线过半径MH的外端且与半径垂直.故本题得证. 抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题.解答此类问题时.要充分利用抛物线和面积的有关知识.重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离.得出相应的线段长或高.从而求解. 例1. 如图1.二次函数的图像与x轴交于A.B两点.其中A点坐标为.点D(1.8)在抛物线上.M为抛物线的顶点. 图1 (1)求抛物线的解析式, (2)求△MCB的面积. 解:(1)设抛物线的解析式为 .根据题意得 .解得 ∴所求的抛物线的解析式为 .∴OC＝5 令.则. 解得 ∴B点坐标为(5.0).OB＝5 ∵. ∴顶点M的坐标为(2.9) 过点M作MN⊥AB于点N. 则ON＝2.MN＝9 ∴ 例2. 如图2.面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上.二次函数的图像过原点.A点和斜边OB的中点M. 图2 (1)求出这个二次函数的解析式和对称轴. (2)在坐标轴上是否存一点P.使△PMA中PA＝PM.如果存在.写出P点的坐标.如果不存在.说明理由. 解:(1)∵等腰直角△OAB的面积为18. ∴OA＝OB＝6 ∵M是斜边OB的中点. ∴ ∴点A的坐标为(6.0) 点M的坐标为(3.3) ∵抛物线 ∴.解得 ∴解析式为. 对称轴为 (2)答:在x轴.y轴上都存在点P.使△PAM中PA＝PM. ①P点在x轴上.且满足PA＝PM时.点P坐标为(3.0). ②P点在y轴上.且满足PA＝PM时.点P坐标为. 例3. 二次函数的图像一部分如图3.已知它的顶点M在第二象限.且经过点A. 图3 (1)请判断实数a的取值范围.并说明理由. (2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c.当△AMC的面积为△ABC面积的倍时.求a的值. 解:(1)由图象可知:,图象过点(0.1).所以c＝1,图象过点(1.0).则, 当时.应有.则 当代入 得.即 所以.实数a的取值范围为. (2)此时函数. 要使 . 可求得. 例4. 如图4.在同一直角坐标系内.如果x轴与一次函数的图象以及分别过C两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7. 图4 (1)求K的值, (2)求过F.C.D三点的抛物线的解析式, (3)线段CD上的一个动点P从点D出发.以1单位/秒的速度沿DC的方向移动.过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q.当P从点D出发t秒后.求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式.并确定t的取值范围. 解:(1)∵点A.B在一次函数的图象上. ∴ 且 ∵四边形ABDC的面积为7 ∴ ∴. .D(4.0)得 (3)∵PD＝1×t＝t ∴OP＝4-t ∴ 即. 抛物线 1已知抛物线D:y2=4x的焦点与椭圆Q:的右焦点F1重合.且点在椭圆Q上.(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率,(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2.且与椭圆相交于A.B两点.求△ABF1的面积. 解:(Ⅰ)由题意知.抛物线的焦点为(1.0) ∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1.0).∴ ① 又点在椭圆Q上. ∴即 ② 由①②.解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离 知F2∴直线l的方程为 设由方程组 消y整理.得 ∴ 又点F1到直线l的距离 ∴ 2如图所示.抛物线y2=4x的顶点为O.点A的坐标为(5.0).倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M.N两点.求△AMN面积最大时直线l的方程.并求△AMN的最大面积 解法一 由题意.可设l的方程为y=x+m,其中-5＜m＜0 由方程组,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M.N.∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)＞0,解得m＜1,又-5＜m＜0,∴m的范围为 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m.x1·x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d= ∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128 ∴S△≤8,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号 故直线l的方程为y=x-1.△AMN的最大面积为8 解法二 由题意.可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5 由方程组,消去x,得y 2-4 y -4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M.N. ∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4.y 1·y 2=-4m, ∴S△=＝4=4 ∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x-1.△AMN的最大面积为8 3已知O为坐标原点.P()()为轴上一动点.过P作直线交抛物线于A.B两点.设S△­­AOB=.试问:为何值时.t取得最小值.并求出最小值. .解:交AB与轴不重叠时.设AB的方程为 合 消y可得: 设A B 则. 交AB与x轴重叠时.上述结论仍然成立∴又∴≥当时 取“= . 综上 当

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