摘要：(三)与函数综合. 对定义域是.的函数.. 规定:函数 (1)若函数..写出函数的解析式, 中函数的值域, (3)若.其中是常数.且.请设计一个定义域为R的函数.及一个的值.使得.并予以证明 [解] (1) (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是 (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+sin2x, α=, g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
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某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数
与时刻
(时) 的关系为
，其中
是与气象有关的参数，且
．
（1）令
, 
，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天
的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作
，求；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【解析】第一问利用定义法求证单调性，并判定结论。
第二问（2）由函数的单调性知
，
∴
，即t的取值范围是
．
当
时，记
则
∵
在
上单调递减，在
上单调递增，
第三问因为当且仅当
时，
.
故当
时不超标，当
时超标．
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在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
.
的值；
，若方程
有三个不相等的实根，求
的取值范围.
方法二：数形结合法：