摘要：四个函数:①f(x)=;②g(x)=sinx;③f(x)=|x|;④f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是 .(把你认为正确的代号都填上) 答案:②③④ 例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 .点x=0, .点x=-1. 解:(1)当x→0-时...因此=-1. 而==1.∵. ∴在x=0处极限不存在.因此在x=0处不连续. (2)∵...∴.因此函数在x=-1处连续. [思维点拨]函数在某点连续当且仅当函数在该点左.右连续. 剖析:(1)需判断f(x)=f(x)=f(0). (2)需判断f(x)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续. 解:(1)∵f(x)=-1, f(x)=1, f(x)≠f(x), ∴f(x)不存在.∴f(x)在x=0处不连续. (2)∵f(x)在x=3处无定义, ∴f(x)在x=3处不连续. ∴f(x)在区间［0,3］上不连续. 练习:讨论函数的连续性,适当定义某点的函数值.使在区间内连续. 解:显然函数的定义域为.当时.. ∴在上连续.在上连续.而在处不连续. 又∵.不妨设. 于是此时.在区间内连续. 解:f(x)= (a+x)=a, f(x)=ex=1,而f(0)=a,故当a=1时, f(x)=f(0), 即说明函数f(x)在x=0处连续,而在x≠0时,f(x)显然连续,于是我们可判断当a=1时, f(x)在内是连续的. 评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点 的左.右极限,进而断定连续性. 例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a个单位后,向左转900,前进ar 个单位,再向左转900,以前进ar2 个单位,--.,如此连续下去 (1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2) 若其中的r 为变量,且0<r<1 ,则行动的最终目的地在怎样的一条直线上? 备用: 例题:利用连续函数的图象特征.判断方程:是否存在实数根. 解:设.则在R上连续.又.因此在[-3.0]内必存在点x0使得.所以x0是方程的一个实数根.因此方程有实根. [思维点拨]要判断方程是否有实根.即判断对应的连续函数的图象是否与x轴有交点.

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