设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．
（Ⅲ）记c_n=（n-2）•a_n，是否存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*），其中m为实常数，m≠-3且m≠0，
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n∈N*，n≥2），求{b_n}的通项公式；
（3）若m=1时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N*均有T_n＞成立，若存在求出k的值；若不存在，请说明理由。