Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*），其中m为实常数，m≠-3且m≠0，
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n∈N*，n≥2），求{b_n}的通项公式；
（3）若m=1时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N*均有T_n＞成立，若存在求出k的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由，得，
两式相减，得，
∴，
∵m是常数，且m≠-3，m≠0，
故为不为0的常数，
且由可得：，
∴{a_n}是等比数列。
（2）由，且n≥2时，，
得，
∴是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，
故。
（3）由已知，
∴，
相减得：，
∴，
，T_n递增，
∴，
对n∈N*均成立，
∴=1，
又k∈N*，
∴k的最大值为7。