Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．
（Ⅲ）记c_n=（n-2）•a_n，是否存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当n=1时，可求出a₁，当n≥2时，Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1两式相减可得an=

1

3

an-1从而{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（Ⅱ）先求出b_n的通项公式，根据

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

可求出

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

的值，从而求出n的值；
（III）先求出c_n的通项公式，然后根据c_n+1-c_n=

2n-2

3n

-

2n-4

3n-1

=

10-4n

3n

≥0得n≤

5

2

从而求出实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，最后求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁，由S1+

1

2

a1=1，得a1=

2

3

．
当n≥2时，Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1，
∴Sn-Sn-1=

1

2

(an-1-an)，
即an=

1

2

(an-1-an)．
∴an=

1

3

an-1．
∴{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
故an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n． 　…（6分）
（Ⅱ）1-S_n=

1

2

a_n=(

1

3

)n，b_n=log₃（1-S_n+1）=log₃(

1

3

)n+1=-n-1，…（8分）

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

-

1

n+2

=

25

51

…（10分）
解方程得n=100…（12分）
（III）解：c_n=（n-2）•a_n=

2n-4

3n-1

，
由c_n+1-c_n=

2n-2

3n

-

2n-4

3n-1

=

10-4n

3n

≥0得n≤

5

2

∴c₃＞c₂＞c₁，
当n≥3时，c_n+1＜c_n即c₃＞c₄＞c₅＞…，又c₃=

2

9

故存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立M的最小值为

2

9

．

点评：本题主要考查了数列的判定，以及利用裂项求和法求和，同时考查了数列的函数特性，属于中档题．