如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，BB₁=2

3

，D为AC上的动点．
（Ⅰ）求五面体A-BCC₁B₁的体积；
（Ⅱ）当D在何处时，AB₁∥平面BDC₁，请说明理由；
（Ⅲ）当AB₁∥平面BDC₁时，求证：平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中点．
（1）求直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为2，M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求证在棱CC₁上找一点N使得MN⊥AB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角M-AB₁-N的余弦值．