摘要： 解:(1)等边三角形.1, ------------------------2分 (2)证明:连接.. 由题意.得.,. ∵ ..三点在同一直线上.∴ ..三点在同一直线上. ∴ .∵ 为中点. ∴ 在Rt△中..在Rt△中.. ∴ .-------------------------3分 ∴ ...四点都在以为圆心.为半径的圆上.∴ . 又∵ .∴ .∴ . -------------------4分 ∴ .由题意..又.∴ .--------------------5分 ∴ . 在Rt中.. ∵ . ∴ .∴ .---------------6分 (3).--------------------------------7分 (注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)
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已知菱形纸片ABCD的边长为8，∠A=60°，E为AB边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F．将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点A'处，过点A'作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H，再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点C'处，C'G与C'H分别交A'E与A'F于点M、N．若点C'在△A'EF的内部或边上，此时我们称四边形A'MC'N（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．
（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A'MC'N的面积；
（2）实验探究：设AE的长为m，若重叠四边形A'MC'N存在．试用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠四边形A'MC'N的面积为 ；
（2）用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积为 ；m的取值范围为 ．
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（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A'MC'N的面积；
（2）实验探究：设AE的长为m，若重叠四边形A'MC'N存在．试用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠四边形A'MC'N的面积为
（2）用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积为
已知：抛物线y=x2-（2m+4）x+m2-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．
（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）“若AB的长为2
，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法；
解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（ ，0）
∵抛物线的对称性及AB=2
，
∴AD=DB=|xA-xD|=2
．
∵点A（xA，0）在抛物线y=（x-h）2+k上，
∴0=（xA-h）2+k①
∵h=xC=xD，将|xA-xD|=
代入上式，得到关于m的方程0=(
)2+( )②
（3）将（2）中的条件“AB的长为2
”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．
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（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）“若AB的长为2
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解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（
∵抛物线的对称性及AB=2
| 2 |
∴AD=DB=|xA-xD|=2
| 2 |
∵点A（xA，0）在抛物线y=（x-h）2+k上，
∴0=（xA-h）2+k①
∵h=xC=xD，将|xA-xD|=
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（3）将（2）中的条件“AB的长为2
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说理填空：如图，点E是DC的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，若△BCE的周长为18cm，求DC的长．解：因为DF平分∠CDA，（已知）
所以∠FDC=
| 1 | 2 |
ADC
ADC
．（角平分线意义
角平分线意义
）因为∠CDA=120°，（已知）所以∠FDC=
60
60
°．因为DF∥BE，（已知）所以∠FDC=∠
BEC
BEC
=60°．（两直线平行，同位角相等
两直线平行，同位角相等
）又因为EC=EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
）因为△BCE的周长为18cm，（已知） 所以BE=EC=BC=6cm．
因为点E是DC的中点，（已知） 所以DC=2EC=12cm．