Question

已知菱形纸片ABCD的边长为8，∠A=60°，E为AB边上的点，过点E作EF∥BD交AD于点F．将菱形先沿EF按图1所示方式折叠，点A落在点A'处，过点A'作GH∥BD分别交线段BC、DC于点G、H，再将菱形沿GH按图1所示方式折叠，点C落在点C'处，C'G与C'H分别交A'E与A'F于点M、N．若点C'在△A'EF的内部或边上，此时我们称四边形A'MC'N（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．

（1）若把菱形纸片ABCD放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A、B、C、D、E恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A'MC'N的面积；
（2）实验探究：设AE的长为m，若重叠四边形A'MC'N存在．试用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠四边形A'MC'N的面积为

 

；
（2）用含m的代数式表示重叠四边形A'MC'N的面积为

 

；m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：（1）由折叠的性质，即可证得四边形A′MC′N是菱形，然后由A′M=2，∠A′=60°，即可求得MN=2，A′C′=2

3

，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得重叠四边形A′MC′N的面积；
（2）首先由折叠的性质，证得A′M=GM=BE，然后由AE=m，则A′M=8-m，根据（1）的方法，即可求得用含m的代数式表示重叠四边形A′MC′N的面积．

解答：解：（1）根据题意得：∠A′=∠C′=60°，∠C′MA′=∠C′NA′=120°，
∴四边形A′MC′N是平行四边形，
∵A′M=C′M，
∴四边形A′MC′N是菱形，
∵A′M=2，∠A′=60°，
∴MN=2，A′C′=2

3

，
∴重叠四边形A′MC′N的面积为：

1

2

MN•A′C′=

1

2

×2×2

3

=2

3

；（2分）

（2）根据题意得：BE∥GM，BC∥A′E，
∴四边形BEMG是平行四边形，
∴GM=BE，
∵∠MGA′=∠A′MG=60°，
∴△A′GM是等边三角形，
∴A′M=GM=BE，
∵AE=m，则A′M=8-m，
由（1）得：MN=8-m，A′C′=

3

（8-m），
∴用含m的代数式表示重叠四边形A′MC′N的面积为

3

2

(8-m)2；（4分）
∴m的取值范围为

16

3

≤m＜8．（5分）

点评：此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题图形较复杂，难度适中，解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．