摘要：19．(Ⅰ)证明:设点为的中点.连接． ∵ 点是的中点.∴ ． ∵ 平面.平面, ∴ 平面． ∵ 点是的中点.∴ ． ∵ 平面.平面,∴ 平面． ∵ ,平面,平面, ∴ 平面平面． ∵ 平面,∴平面． -- 证法2: 连接并延长与的延长线交于点, 连接, ∵ 点是的中点, ∴ ． ∵ , , ∴ RtRt． ∴ ． ∵ 点是的中点, ∴ ． ∵ 平面,平面,∴ 平面． -- (Ⅱ)解: 取的中点, 连接, 则即为异面直线和所成的角. 在中... ∵.∴∴-- (Ⅲ) 解: 取的中点, 连接,, ∵ 点是的中点, ∴ ． ∵ ,∴ ． ∴ 过三点的平面把长方体截成两部分几何体,
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如图，已知平面四边形
中，
为
的中点，
，
，
且
．将此平面四边形沿
折成直二面角
，
连接
，设
中点为
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存在一点
，使得
平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（3）求直线
与平面所成角的正弦值．
如图，已知平面四边形
中，
为
的中点，
，
，
且
．将此平面四边形沿
折成直二面角
，
连接
，设
中点为
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存在一点
，使得
平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（3）求直线
与平面所成角的正弦值．
中，
为
的中点，
，
，且
．将此平面四边形沿
折成直二面角
，连接
，设
中点为
．
（1）证明：平面
平面
；（2）在线段
上是否存在一点
，使得
平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（3）求直线
与平面所成角的正弦值．如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，底面为正方形，
，
，
分别是
，
的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求证：
；
（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
【解析】第一问利用线面平行的判定定理，
，得到
第二问中，利用
，所以
又因为
，
，从而得
第三问中，借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.
（Ⅰ）证明：
分别是
的中点，
，． …4分
（Ⅱ）证明：四边形为正方形，．
， ．
， 
，
．，． ………8分
（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,
∴
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．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
；
．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
；