已知椭圆的两个焦点是与，点是椭圆外的动点，满足 。点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足。

（1）设为点的横坐标，证明；

（2）求点的轨迹的方程；

（3）试问：在点的轨迹上，是否存在点，

使的面积为？若存在，求

的正切值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为的菱形的四个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点F₂ ，斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线、分别交直线于点、，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.

已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点，如果的周长等于8。

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及定值;若不存在，说明理由。

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂ ，斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线、分别交直线于点、，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.