摘要：解:(Ⅰ) 连结,取中点.连结, 因为平面,所以平面平面. 又底面为菱形.为中点. 所以平面. 因为∥. 所以平面. 又==. 所以点到平面的距离为. (Ⅱ)方法一: 分别以所在直线为轴.建立如图所示的坐标系. 则 ..所以. 面的一个法向量. 所以.解得. 因为面的一个法向量为. 设面的一个法向量为.则.. 则有所以. 取.. 则. 所以二面角的大小为. 方法二:连结,由(1)可知为直线 与平面所成角. 则. 所以 过做垂直,交其延长线于点.连结,在中..所以. 那么在直角三角形.=1. 过做于点.连结. 则为所求二面角的平面角. 连结,则.且=2.. 则在△中.. 所以. 所以所求二面角的大小为.
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如图，已知直线
（
）与抛物线
：
和圆
：
都相切，
是的焦点．
（Ⅰ）求
与
的值；
（Ⅱ）设
是上的一动点，以为切点作抛物线的切线
，直线交
轴于点
，以
、
为邻边作平行四边形
，证明：点
在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为
， 直线与轴交点为
，连接
交抛物线于
、
两点，求△
的面积
的取值范围．
【解析】第一问中利用圆：
的圆心为
，半径
．由题设圆心到直线的距离
．
即
，解得
（
舍去）
设
与抛物线的相切点为
，又
，得
，
．
代入直线方程得：
，∴
所以，
第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为
，焦点
． ………………（2分）
设
，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为
．
令
，得切线交轴的点坐标为
所以
，
， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴
因为是定点，所以点在定直线
第三问中，设直线
，代入
得
结合韦达定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圆：
的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
设与抛物线的相切点为，又，得，．
代入直线方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点． ………………（2分）
设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．
令，得切线交轴的点坐标为
所以，， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，
∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）
（Ⅲ）设直线，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面积范围是
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