题目内容

如图,已知直线)与抛物线和圆都相切,的焦点.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)设上的一动点,以为切点作抛物线的切线,直线轴于点,以为邻边作平行四边形,证明:点在一条定直线上;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记点所在的定直线为,    直线轴交点为,连接交抛物线两点,求△的面积的取值范围.

【解析】第一问中利用圆的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.  

,解得舍去)

与抛物线的相切点为,又,得.     

代入直线方程得:,∴    所以

第二问中,由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点.   ………………(2分)

,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.   

,得切线轴的点坐标为    所以,    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形

因为是定点,所以点在定直线

第三问中,设直线,代入结合韦达定理得到。

解:(Ⅰ)由已知,圆的圆心为,半径.由题设圆心到直线的距离.  

,解得舍去).     …………………(2分)

与抛物线的相切点为,又,得.     

代入直线方程得:,∴    所以.      ……(2分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,焦点.   ………………(2分)

,由(Ⅰ)知以为切点的切线的方程为.   

,得切线轴的点坐标为    所以,    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形,

因为是定点,所以点在定直线上.…(2分)

(Ⅲ)设直线,代入,  ……)得,                 ……………………………     (2分)

的面积范围是

 

【答案】

(Ⅰ).    (Ⅱ)点在定直线上.…(2分)(Ⅲ)范围是

 

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