摘要：22．已知中心在原点.焦点在轴上的椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数.且经过点.过点P(2.1)的直线与椭圆C在第一象限相切于点M . (1)求椭圆C的方程, (2)求直线的方程以及点M的坐标, (3)是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A.B.满足?若存在.求出直线l1的方程,若不存在.请说明理由. 解:(1)设椭圆C的方程为. 双曲线的离心率为2.椭圆C的离心率-----1分 又据题意得 -------2分 解得.故椭圆C的方程为.--------4分 的直线l与椭圆在第一象限相切.所以l的斜率存在.故可设直线l的方程为-------5分 由 得. ① --------7分 因为直线与椭圆相切.所以 整理.得 解得 所以直线方程为 -------8分 将代入①式.可以解得M点横坐标为1.故切点M坐标为----9分 (3)若存在直线l1满足条件.的方程为.代入椭圆C的方程得 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A.B.设A.B两点的坐标分别为 所以 所以. --------10分 又.--------11分 因为即. --------12分 所以. 即 所以. 解得 --------13分 因为A.B为不同的两点.所以. 于是存在直线1满足条件.其方程为------------14分

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