2．难点:双圆锥曲线的相交问题． (解决办法:要提醒学生注意.除了要用一元二次方程的判别式.还要结合图形分析．)——青夏教育精英家教网——

摘要：2．难点:双圆锥曲线的相交问题． (解决办法:要提醒学生注意.除了要用一元二次方程的判别式.还要结合图形分析．)

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已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=

．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F₂的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使

的值是常数．查看习题详情和答案>>

设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k．则下列说法正确的是

时，点M的轨迹是双曲线．（其中a，b∈R⁺）
（2）当k=-

时，点M的轨迹是部分椭圆．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）条件下，点p（x₀，y₀）（x₀＜0）是曲线上的点F₁（-

，0)，F₂（

，0），且|PF₁|=

|PF₂|，则（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，

]
（4）在（2）的条件下，过点F₁（-

，0），F₂（

，0）．满足

=0的点M总在曲线的内部，则（2）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(

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如图，直线l₁和l₂相交于点M且l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；
（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围．

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下列是有关直线与圆锥曲线的命题：
①过点（2，4）作直线与抛物线y²=8x有且只有一个公共点，这样的直线有2条；
②过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有且仅有两条；
③过点（3，1）作直线与双曲线

-y2=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条；
④过双曲线x2-

=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l有3条；
⑤已知双曲线x2-

=1和点A（1，1），过点A能作一条直线l，使它与双曲线交于P，Q两点，且点A恰为线段PQ的中点．
其中说法正确的序号有

．（请写出所有正确的序号）

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（12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

① 过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；

② 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.

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