Question

（12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

①     过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；

②     过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明 设

相减得  

注意到  

有        

即                        …………………………………………5分

（Ⅱ）①设

由垂径定理，

即       

化简得  

当与轴平行时，的坐标也满足方程.

故所求的中点的轨迹的方程为；

…………………………………………8分

②     假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则

         

由于 

直线，即，代入曲线的方程得

         即   

         由  得.

故当时，存在这样的直线，其直线方程为；

当时，这样的直线不存在.        ………………………………12分