摘要：问题 从求功的运算中.可以抽象出什么样的数学运算? 平面向量的数量积 (1)最初的认识 学生讨论:如把力和位移抽象地看成两个“向量 .把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角.就可以得到一种新的运算.它就是从向量得到一个数量(即)的运算.这里是向量的夹角. (2)进一步表述 引进“向量的数量积 等术语后.就可以把上面的结果进一步表述为: 已知两个向量和.它们的夹角为.我们把数量叫做和的数量积.记作.即=. 两个向量的夹角 问题 在上面的向量数量积的定义中.提到了“两个向量的夹角 的概念.它究竟代表什么意义呢? 从实际背景中的“力 和“位移 的夹角出发.展开讨论.得到下面的结论: 对于两个非零向量和.作.则()叫做向量和的夹角. 特别地.当向量与的夹角分别等于和时.两个向量分别是同向.反向和垂直.向量与垂直.记作. 在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零 限制. 平面向量的数量积 (3)表述的精确化 问题 在进一步弄清了“向量的夹角 的意义以后.应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念? 问题 零向量有没有数量积?应该如何定义? 问题 在实际的“求功运算 中是怎样解决这个问题的? 通过讨论.得到“数量积 的定义: 已知两个向量和.它们的夹角为.我们把数量叫做和的数量积.记作.即=.同时规定:与任何向量的数量积为0.即. (4)对定义的理解 ① 尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的.但是.它已经是一种抽象的数学运算了.一般地.它已经不具有“求功 的具体意义了.在引入向量的数量积以后.物理学中的功的概念就可以用数学语言表述为:功就是力与在其作用下物体产生的位移的数量积.即 ② 两个向量数量积的结果是一个实数.这与向量的加法.减法和数乘运算是不同的. ③ 注意:.等式右边的零是一个实数.而不是零向量. 数量积的运算性质 问题 向量的数量积有什么样的性质? 在实数乘法中.我们有:同号时..特别地.异号时.有.在向量的数量积中.类似的结论成立吗? 经过讨论得到下面的结论: 当与同向时..特别地.或, 当与反向时.. 用类似的方法.可以得到下面的结论: 设向量和实数.则向量的数量积满足下列运算律: ①, ②, ③

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