摘要：(二)解题训练.提高能力 例1 Rt△ABC在平面α内.∠C＝90°.AC＝16.P为α外一点.PA＝PB＝PC.如果P到BC的距离为17.求点P到平面α的距离． 分析:求点到平面的距离.点到直线的距离.需要先作出这个距离.然后在适当的三角形中解这个三角形.本题关键的问题是确定点P在平面a内射影O的具体位置和直角三角形的外心性质． 解:作PO⊥平面α. ∵ PA＝PB＝PC. ∴ OA＝OB＝OC． ∴ O为Rt△ABC的外心． 取BC中点D.连结PD.OD． 则OD是△ABC中位线． 由三垂线定理知PD⊥BC.即PD＝17.在Rt△ABC中.OP＝ 说明:这个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直.从而得到点到直线的距离.利用勾股定理解直角三角形是这类问题的常用方法． 教师引导学生看书.并讲解课本例题: 道旁有一条河.彼岸有电塔AB.高15m.只有测角器和皮尺作测量工具.能否求出电塔顶与道路的距离? 例2 如图1-96.在正方体AC1中. 求证:(1)AC1⊥A1D． (2)AC1⊥平面A1BD． 分析:本例关键在于引导学生观察图形变化时.如何正确运用三垂线定理．事实上.要证明AC1⊥A1D.满足的射影所在平面是竖直位置的平面DA1.垂线是C1D1.斜线是AC1.射影是AD1．应当克服思维定势给证题带来的消极影响． 教学时.教师先写出第(1)小题的题目.让学生思考.并画出图形.写出证法要点.教师作个别指点．然后.让一个学生板演.教师讲评．接着教师再写出第(2)小题的题目.让全体同学观察.思考． 证明:(1)连结AD1.由正方形可得． ∵AD1⊥A1D. C1D1⊥平面AD1. ∴AC1⊥A1D． AC1⊥A1D. 同理可证:AC1⊥A1B． A1D∩A1B＝A1. ∴AC1⊥平面A1BD． 例3 点P为平面ABC外一点.PA⊥BC.PC⊥AB.求证:PB⊥AC． 证明:过P作PO⊥平面ABC于O.连结OA.OB.OC． 例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中.P.O.R分别是AA1.BB1.BC上的点.PQ∥AB.C1Q⊥PR． 求证:D1Q⊥QR． 分析:PQ∥AB提供的结论是PQ⊥平面BB1C1C.又因为C1Q⊥PR.在平面BB1C1C上.利用三垂线逆定理.就可以得到RQ⊥QC1,又因为D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1.再在这个平面上利用三垂线定理.就可以得到结论． 证明:∵PQ∥AB.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.得PQ⊥平面BB1C1C.PR是平面BB1C1C的斜线.RQ是斜线PR在平面BB1C1C上 ∴RQ⊥QC1． 又∵D1C1⊥平面BB1C1C.D1Q是平面BB1C1C的斜线.QC1是 ∴D1Q⊥QR． 说明:本题运用了三垂线定理及其逆定理.探讨了直线与直线垂直关系的转换.图形中直线位置关系较为复杂.而且射影面也非常规位置.学生可能无法轻易看出.教师应当适当引导．
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某校为了对学生的语文、英语的综合阅读能力进行分析，在全体学生中随机抽出5位学生的成绩作为样本，这5位学生的语文、英语的阅读能力等级得分（6分制）如下表：| x （语文阅读能力） |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y （英语阅读能力） |
1.5 | 3 | 4.5 | 5 | 6 |
（Ⅱ）根据上表数据
（ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
 |
| y |
（2011•佛山二模）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85]之间为良好；在[65，75]之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．
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现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．
（2013•日照二模）如图：（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．
其中所有说法正确的序号是（ ）
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．
其中所有说法正确的序号是（ ）
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（2011•佛山二模）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85）之间为良好；在[65，75）之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）现用分层抽样的方法在该校高一年级共900名学生中抽取6名学生，在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．
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现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）现用分层抽样的方法在该校高一年级共900名学生中抽取6名学生，在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．
（2012•河北模拟）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练的提高”数学应题“得分率”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练〕，乙班为对比班（常规教学，无额外训练）．在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致．试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整放）如下表所示：
现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀
（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率：
（Ⅱ）用以上统计数据填写下面2X2列联表，并问是否有75%的把握认为．加强“语史阅读理解”训练对提高“数学应题”得分率有帮助？
参考个公式K2=
，其中n=a+b+c+d
参考数据：
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| 61分以下 | （61，70]（分） | （71，80]（分） | （81，90]（分） | （91，100]（分） | |
| 甲班（人数） | 3 | 6 | 11 | 18 | 12 |
| 乙班（人数） | 4 | 8 | 13 | 15 | 10 |
（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率：
（Ⅱ）用以上统计数据填写下面2X2列联表，并问是否有75%的把握认为．加强“语史阅读理解”训练对提高“数学应题”得分率有帮助？
| 优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
| 甲班 | 30 30 |
20 20 |
50 50 |
| 乙班 | 25 25 |
25 25 |
50 50 |
| 总计 | 55 55 |
45 45 |
100 100 |
| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 |
| k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |