Question

（2011•佛山二模）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85]之间为良好；在[65，75]之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．

Answer 1

分析：（1）由题意的数据可得分布表和直方图，可估计优秀的学生人数；（2）ξ的可能取值为0，1，2，分别可得其概率，可得分布列和数学期望；（3）由前面的数据可对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．

解答： 解：（1）由已知的数据可得频率分布表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[55，60）	1	1 30
[60，65）	1	1 30
[65，70）	2	2 30
[70，75）	2	2 30
[75，80）	4	4 30
[80，85）	10	10 30
[85，90）	6	6 30
[90，95）	3	3 30
[95，100）	1	1 30

根据抽样，估计该校高一学生中体能素质为优秀的有

10

30

×900=300人                 …（5分）
（2）ξ的可能取值为0，1，2．…（6分）
P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 30

=

38

87

，P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 10

C 2 30

=

40

87

，P（ξ=2）=

C 2 10

C 2 30

=

9

87

             …（8分）
∴ξ分布列为：

ξ	0	1	2
P	38 87	40 87	9 87

…（9分）
所以，数学期望Eξ=0×

38

87

+1×

40

87

+2×

9

87

=

58

87

=

2

3

．…（10分）
（3）根据抽样，估计该校高一学生中体能素质为优秀有

10

30

×900=300人，占总人数的

1

3

，体能素质为良好的有

14

30

×900=420人，占总人数的

7

15

，体能素质为优秀或良好的共有

24

30

×900=720人，占总人数的

4

5

，但体能素质为不合格或仅为合格的共有

6

30

×900=180人，占总人数的

1

5

，说明该校高一学生体能素质良好，但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，涉及频率分布直方图，属中档题．