摘要：已知点是△的重心.若过△的重心.且则

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已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且 $数学公式$ =a， $数学公式$ =b， $数学公式$ =ma， $数学公式$ =nb，求证： $数学公式$ + $数学公式$ =3．

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已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．查看习题详情和答案>>

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=

，且与椭圆

=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

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已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F₂，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

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已知方向向量为 $数学公式$ 的直线l过点 $数学公式$ 和椭圆 $数学公式$ 的右焦点，且椭圆的离心率为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足 $数学公式$ ，求实数λ的取值范围．

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