摘要：在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中: (1)与直线AB平行的平面是: (2)与直线A A1平行的平面是: (3)与直线AD平行的平面是: 学生质疑教师释疑

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，A₁A=2

（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在线段BC₁是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，设A₁C₁的中点为O₁．
（Ⅰ）求棱AA₁的长
（Ⅱ）求证：面A₁BC₁⊥面BDD₁O₁
（Ⅲ）求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为

．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若线段AC与BD交于点E，求证：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，指出线段C₁P的长，如果不存在，请说明理由．

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在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在A₁B、A₁D上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角的大小.

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为 $数学公式$ ．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若线段AC与BD交于点E，求证：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，指出线段C₁P的长，如果不存在，请说明理由．

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