题目内容

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在A1B、A1D上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.

（1）求证：A1C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小.

解析：建立如图所示直角坐标系.?

?

（1）证明：∵CB⊥面ABB1A1，A1B⊥AE，∴A1C⊥AE.?

同理，A1C⊥AF，AF∩AE=A.?

∴A1C⊥面AEF.?

（2）由题意得A1C⊥面AEF.?

设xAy平面内的单位向量为e,?

e=(x,y,0),e⊥BB1,只需e⊥BD即可.?

B（4，0，0），D（0，3，0），=（-4，3，0），?

∴e=(,,0).?

∴两面夹角即为e与向量的夹角.?

A1（0，0，5），C（4，3，0），?

∴=（4,3,-5）.?

∴cosθ=.?

∴θ＝arccos.

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