摘要：2．能运用距离公式.中点坐标公式解决一些简单的问题． [课堂互动] 自学评价 (1)平面上两点之间的距离公式为 ． (2)中点坐标公式:对于平面上两点.线段的中点是.则． [精典范例] 例1:两点之间的距离, 两点之间的距离为17.求实数a的值． [解](1)由两点间距离公式得AB= (2) 由两点间距离公式得,解得 a=． 故所求实数a的值为8或-8． 例2:已知三角形的三个顶点.试判断的形状． 分析:计算三边的长.可得直角三角形． [解] , ∵. ∴为直角三角形. 点评:本题方法多样.也可利用.斜率乘积为-1.得到两直线垂直. 例3:已知的顶点坐标为.求边上的中线的长和所在的直线方程． 分析:由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式.两点式就可求出的长和所在的直线方程． [解]如图.设点． ∵点是线段的中点. ∴ . 即的坐标为． 由两点间的距离公式得． 因此.边上的中线的长为． 由两点式得中线所在的直线方程为 .即． 点评:本题是中点坐标公式.距离公式的简单应用. 例4．已知是直角三角形.斜边的中点为.建立适当的直角坐标系. 证明:． 证:如图.以的直角边所在直线为坐标轴.建立适当的直角坐标系. 设两点的坐标分别为. ∵是的中点. ∴点的坐标为.即． 由两点间的距离公式得 所以.． 追踪训练一
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已知点A(2,4,6)与点B的中点坐标为M(3,6,m),且点M到xOy平面的距离为8,求M点和B点的坐标.〔附:点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的中点坐标公式
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长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
[分析] (1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．
查看习题详情和答案>>平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具．如图，设直线
l的倾斜角为α(α≠90°)．在l上任取两个不同的点
，
，不妨设向量
的方向是向上的，那么向量
的坐标是(
)．过原点作向量
，则点P的坐标是(
)，而且直线OP的倾斜角也是α．根据正切函数的定义得
，
这就是《数学
2》中已经得到的斜率公式．上述推导过程比《数学2》中的推导简捷．你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？例如：(1)
过点
，平行于向量
的直线方程；
(2)
向量(A，B)与直线
的关系；
(3)
设直线
和
的方程分别是
那么，
∥
，
的条件各是什么？如果它们相交，如何得到它们的夹角公式？
(4)
点
到直线
的距离公式如何推导？
（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）
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（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
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