3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．自学评价——青夏教育精英家教网——

摘要：3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．自学评价

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（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x₀（x₀≠3，保留4位有效数字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）在曲线y=x-

上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线y=x+

（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并取a=

加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，

]上单调递减，在区间[

，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

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在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(

-1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10

n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）

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（2006•浦东新区模拟）（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x₀（x₀≠3，保留4位有效数字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲线y=x+

（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，

]上单调递减，在区间[

，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

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某同学用《几何画板》研究椭圆的性质：打开《几何画板》软件，绘制某椭圆C₁：

=1，在椭圆上任意画一个点S，度量点S的坐标（x_s，y_s），如图1．
（1）拖动点S，发现当x_s=

时，y_s=0；当x_s=0时，y_s=1，试求椭圆C₁的方程；
（2）该同学知圆具有性质：若E为圆O：x²+y²=r²（r＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率k_AB与直线OE的斜率k_OE的乘积k_AB•k_OE为定值．该同学在椭圆上构造两个不同的点A、B，并构造直线AB，再构造AB的中点E，经观察得：沿着椭圆C₁，无论怎样拖动点A、B，椭圆也具有此性质．类比圆的这个性质，请写出椭圆C₁的类似性质，并加以证明；
（3）拖动点A、B的过程中，如图2发现当点A与点B在C₁在第一象限中的同一点时，直线AB刚好为C₁的切线l，若l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值．

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某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

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