摘要：[解析]解法1:(Ⅰ) ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD.EC⊥AC. ∴EC⊥平面ABCD,连接BD交AC于点O.连接FO. ∵正方形ABCD的边长为.∴AC＝BD＝2, 在直角梯形ACEF中.∵EF＝EC＝1.O为AC中点. ∴FO∥EC.且FO＝1,易求得DF＝BF＝. DE＝BE＝.由勾股定理知 DF⊥EF.BF⊥EF. ∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角. 由BF＝DF＝.BD＝2可知∠BFD＝. ∴平面BEF⊥平面DEF. ------ (Ⅱ)取BF中点M.BE中点N.连接AM.MN.AN.∵AB＝BF＝AF＝.∴AM⊥BF. 又∵MN∥EF.EF⊥BF.∴MN⊥BF.∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角. 易求得., 在Rt△中.可求得. ∴在△中.由余弦定理求得. ----------- 解法2:(Ⅰ)∵平面ACEF⊥平面ABCD.EC⊥AC.∴EC⊥平面ABCD, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.则. ,,,, ∴...- 设平面BEF.平面DEF的法向量分别为 .则 ①. ②. ③, ④. 由①③③④解得,∴,- ∴.∴.故平面BEF⊥平面DEF.-------------- (Ⅱ)设平面ABF的法向量为.∵., ∴..解得. ∴.----------------------------- ∴.------------------ 由图知.二面角A-BF-E的平面角是钝角.故所求二面角的余弦值为.-

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