摘要： 如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.AC⊥BC.AC＝BC＝CC1.M.N分别是A1B.B1C1的中点. (Ⅰ)求证:MN⊥平面A1BC, (Ⅱ)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小. [解]解法一:(Ⅰ)由已知BC⊥AC.BC⊥CC1. 所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1.则BC⊥AC1. 由已知.侧面ACC1A1是正方形.所以A1C⊥AC1. 又.所以AC1⊥平面A1BC. 因为侧面ABB1A1是正方形.M是A1B的中点.连结AB1.则点M是AB1的中点. 又点N是B1C1的中点.则MN是△AB1C1的中位线.所以MN∥AC1. 故MN⊥平面A1BC. (Ⅱ)因为AC1⊥平面A1BC.设AC1与A1C相交于点D. 连结BD.则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角. 设AC＝BC＝CC1＝a.则.. 在Rt△BDC1中.sin∠C1BD＝. 所以∠C1BD＝30º.故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º. 解法二:(Ⅰ)据题意CA.CB.CC1两两垂直.以C为原点. CA.CB.CC1所在直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间 直角坐标系.如图. 设AC＝BC＝CC1＝a.则 . .. 所以... 于是..即MN⊥BA1.MN⊥CA1. 又.故MN⊥平面A1BC. (Ⅱ)因为MN⊥平面A1BC.则为平面A1BC的法向量.又. 则.所以. 故直线BC1和平面A1BC所成的角为30º.

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