.(本小题满分14分)

设函数.其中为常数.

（Ⅰ）证明：对任意，的图象恒过定点；

(Ⅱ) 设，若为定义域上的增函数，求的最大值；

（Ⅲ）当时，函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由.

（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为，且满足，a，x₁，x₂为常数,x₁≠x₂．
(1)试求a的值；
(2)记函数，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；
(3)对于(2)中的b，设函数，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函数g(x)图象上两点，若，试判断x₀，x₁，x₂的大小，并加以证明．

（本小题满分14分）
设函数，函数有唯一的零点，其中实数为常数，，．
（Ⅰ）求的表达式；(Ⅱ)求的值；
(Ⅲ)若且，求证：．

（本小题满分14分）

已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.

（1）求的值；

（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

（3）若，且，求证：N

（本小题满分14分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.