（12分）在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上射影O

       恰是BC的中点。

   （1）求证：A₁A⊥BC；

   （2）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A―AC―B的

   （3）若D为侧棱AA₁上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁。

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（1）求证：A₁A⊥BC；
（2）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点。

    （Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；

    （Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45º角时，求二面角A₁-AC-B的大小

    （Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁。