如图，直角坐标系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点P（m,0）（m为非零常数）的直线L与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由。

设函数，其中．

（I）若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；

（Ⅱ）当时，设，讨论的单调性；

（Ⅲ）在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

设函数，其中．
（I）若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当时，设，讨论的单调性；
（Ⅲ）在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．