Question

设函数，其中．
（I）若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当时，设，讨论的单调性；
（Ⅲ）在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

( I ) ；(Ⅱ)当m≥0时，在(0，＋∞)上为增函数；当m＜0时，在上为增函数，在上为减函数.(Ⅲ)存在，.

解析试题分析：( I )先求出定点P，然后找出点P关于直线的对称点代入，即得到；(Ⅱ)将代入，得到，再讨论m的取值范围，从而得到的单调性；(Ⅲ)先求出的表达式，再假设存在P、Q两点满足题意，由，讨论的范围，从而得到a的取值范围为.
试题解析：( I ) 令，则，即函数图象恒过定点P (2，0)    (1分)
∴P (2，0)关于直线的对称点为(1，0)       (2分)
又点(1，0)在的图象上，∴，∴      (3分)
(Ⅱ) ∵且定义域为      (4分)
∴    (5分)
∵x＞0，则x＋1＞0　
∴当m≥0时，此时在(0，＋∞)上为增函数.      (6分)
当m＜0时，由得，由得
∴在上为增函数，在上为减函数.      (7分)
综上，当m≥0时，在(0，＋∞)上为增函数.
当m＜0时，在上为增函数，在上为减函数.   (8分)
(Ⅲ)由( I )知，，假设曲线上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在轴两侧，设，则，
因为△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，
，即①
（1）当时，，此时方程①为，化简得.此方程无解，满足条件的P、Q不存在.
(2)当时，，此时方程①为，
即.
设，则，
显然当时，，即在上为增函数，所以的值域为.
所以当时方程①总有解.
综上，存在P、Q两点满足题意，则a的取值范围为.
考点：1.点关于直线对称；2.用导数研究函数的单调性；3.函数的单调性与值域.