如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝2^x＋a.

(1)对于任意实数x₁，x₂，试比较与f(－1)的大小；

(2)已知P＝[1,4]，若关于x的不等式f(ax²－4x)＞4＋a的解集为M，且P∩M≠∅，求实数a的取值范围．

（本题满分15分）已知椭圆＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．

(1) 求t表示△ABC的面积S( t )；

(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

(1)设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；

(2)设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；

(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂.

(ⅰ)证明：＝2.

(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．