（本题满分16分）已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,.

⑴ 求证:数列是等比数列；

⑵ 设与的等差中项为,比较与的大小；

⑶ 设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：

当时，；

当时，.

求数列的前项和.

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足 (n∈N^*).

     (Ⅰ)求数列的通项公式，并比较与的大小；

     (Ⅱ)设函数,令,求数列的前n项和T_n

（12分）已知数列，其前n项和，满足，且
。      
（1）求实数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，试比较与的大小．

已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

(08年泉州一中适应性练习理)（14分）

数列中，， (为常数，) ，且

（1）求的值；

（2）① 证明：；

② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（3）比较与的大小，并加以证明.