Question

(08年泉州一中适应性练习理)（14分）

数列中，， (为常数，) ，且

（1）求的值；

（2）① 证明：；

② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（3）比较与的大小，并加以证明.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）依题意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                

（Ⅱ）解：

① 证明：因为，

当且仅当时，.

因为，所以，即  () .               

      ② 数列有极限，          且 .                                                 

（Ⅲ）解：

由，可得，

从而.

因为，所以

所以

 

因为，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面证明：对于任意，有成立.

当时，由，显然结论成立.

假设结论对时成立，即

因为，且函数在时单调递增，

所以.

即当时，结论也成立.       于是，当时，有成立.        

根据得 .                                             由 及， 经计算可得

所以，当时， ；      当时，；

当时，由，  得.              ……