摘要：22． 在等边三角形ABC中.D.E分别为AB.BC延长线上的点.且BD＝CE.AE交DC的延长线于点F.AG⊥CD.垂足为G． 求证:(1)△≌△; (2)AF＝2FG．
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在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
(1)如图(1)，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．
求证：a2＝b(b＋c)；
(2)如图(2)，如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第(Ⅰ)问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，其中∠A＝2∠B，关系式a2＝b(b＋c)是否仍然成立？并证明你的结论；
(3)试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．
如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形？多少个平行四边形？多少个菱形？多少个等腰梯形？(本题只要求观察，说出你数得的个数)
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（1）如下图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则 ∠APB=（ ）。
分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌（ ）这 样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。
分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌（ ）这 样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。
【老题重现】求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
| AB×PE |
| 2 |
| AC×PF |
| 2 |
| AB×CD |
| 2 |
∵AB=AC
∴PE+PF=CD
【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．
求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．
【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．
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