摘要：2．数形结合思想 在中学数学里.我们不可能把“数 和“形 完全孤立地割裂开.也就是说.代数问题可以几何化.几何问题也可以代数化.“数 和“形 在一定条件下可以相互转化.相互渗透.
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数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的做法，就是一个非常典型的例子：
如图，a、b分别表示一条线段的长度，则a+b可以表示两条线段之和，那么（a+b）2就可以表示正方形的面积．同样，a2、ab、b2也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．
（1）请请你根据上述材料推导乘法公式（a+b+c）2的展开结果．
（2）若．a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2均为正数，且a1+a2=b1+b2=c1+c2=d1+d2=k，求证：a2b1+b2c1+c2d1+d2a1≤k2，并写出等号成立的条件．
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数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”．
如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．易证得两个结论：（1）AC•BC=AB•CD （2）AC2=AD•AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC＞BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长．
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d，且a最大．求证：a+d＞b+c（提示：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1）
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如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．易证得两个结论：（1）AC•BC=AB•CD （2）AC2=AD•AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC＞BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长．
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d，且a最大．求证：a+d＞b+c（提示：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1）
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科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间之后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）
（1）请在网格中建立适当的平面直角坐标系，作出植物高度增长量l关于温度t/℃的函数图象．
（2）由图象知，l与t的关系可近似用
（3）最适合这种植物生长的温度是多少？为什么？
（4）本题用了
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| 温度t/℃ | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 植物高度增长量l/mm | 1 | 24 | 39 | 49 | 49 | 41 | 25 | 1 |
（2）由图象知，l与t的关系可近似用
二次
二次
函数表示，求出l与t的这种函数关系式．（3）最适合这种植物生长的温度是多少？为什么？
（4）本题用了
建模思想（函数、数形结合也可以）
建模思想（函数、数形结合也可以）
数学思想方法．
为了探索代数式| x2+1 |
| (8-x)2+25 |
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=
| x2+1 |
| (8-x)2+25 |
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
| x2+1 |
| (8-x)2+25 |
10
10
，此时x=| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想？
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式
| x2+4 |
| (12-x)2+9 |
13
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