Question

为了探索代数式

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=

x2+1

，CE=

(8-x)2+25

 则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得

x2+1

+

(8-x)2+25

的最小值等于

10

，此时x=

4

3

；
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想？
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值

13

．

Answer 1

分析：（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．
（2）根据（1）的解答过程即可得出结论．
（3）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．

解答：解：（1）如图1，过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，
根据题意，四边形BDEF为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=

62+82

═10．
即AC+CE的最小值是10．
 

x2+1

+

(8-x)2+25

=10，
∵EF∥BD，
∴AB AF=BC EF，
∴

1

6

=

x

8

，
解得：x=

4

3

．
故答案为10，

4

3

；


（2）数形结合的数学思想；

（3）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=

52+122

=13．
即AC+CE的最小值是13．
故答案为13．即AE=13．

点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键