在平面直角坐标系中，有一个矩形ABCD，四个顶点的坐标分别为：A（4，0）、B（4，2）、C（8，2）、D（8，0）,并且有两个动点P和Q。P从原点O出发，沿X轴正方向运动；Q从A点出发，沿折线A—B—C—D方向在矩形的边上运动，且两点的运动速度均为每秒2个单位。当Q到达D点时，P也随之停止。设运动的时间为x。

（1）分别求出当x=1和x=3时，对应的△OPQ的面积。

（2）设△OPQ的面积为y，分别求出不同时段，y关于x的函数解析式，注明自变量的取值范围。并求出在整个运动过程中，△OPQ的面积的最大值。

（3）在P、Q运动过程中，是否存在两个时刻和，使得构成相应的和相似。若存在，直接写出这两个时刻，并证明两个三角形相似；若不存在，请说明理由。

如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）