Question

在平面直角坐标系中，有一个矩形ABCD，四个顶点的坐标分别为：A（4，0）、B（4，2）、C（8，2）、D（8，0）,并且有两个动点P和Q。P从原点O出发，沿X轴正方向运动；Q从A点出发，沿折线A—B—C—D方向在矩形的边上运动，且两点的运动速度均为每秒2个单位。当Q到达D点时，P也随之停止。设运动的时间为x。

（1）分别求出当x=1和x=3时，对应的△OPQ的面积。

（2）设△OPQ的面积为y，分别求出不同时段，y关于x的函数解析式，注明自变量的取值范围。并求出在整个运动过程中，△OPQ的面积的最大值。

（3）在P、Q运动过程中，是否存在两个时刻和，使得构成相应的和相似。若存在，直接写出这两个时刻，并证明两个三角形相似；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）当x=1时，面积为2 ；当x=3时，面积为6        

（2）；                          

；                             

；                       

当x=3时，面积的最大值是6                      

（3）当时，和相似。      

因为;

所以：,所以和相似。