四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形，如图1，正方形EFGH就是正方形ABCD的内接正方形，已知正方形ABCD的边长为a．
（1）请在图1中画出面积最小的正方形ABCD的内接正方形E₁F₁G₁H₁（要求用文字标明取点方法）；
（2）如图2，四边形E₂F₂G₂H₂是正方形ABCD的内接平行四边形，AE₂=x，AH₂=y，请探讨
①当x、y满足什么条件时，四边形E₂F₂G₂H₂是矩形；（要求写出过程）
②用x的代数式表示矩形E₂F₂G₂H₂的面积S，并写出S的取值范围．（直接写出结果）

四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形．如图，四边形EFGH是正方形ABCD的内接平行四边形，且已知正方形ABCD的边长为4．
（1）若点E、F、G、H是正方形ABCD四边中点，试求四边形EFGH的面积；
（2）设AE=x，AH=y，请探讨当x、y满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．（要求写出过程）

求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

已知：如图所示，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于O．

求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上．