摘要：如图10所示,△ABC是直角三角形,BC为斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACD重合,如果AP=3,那么PD= .

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如图1，一副直角三角板满足AB=BC=10，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，将三角板DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上，且点E与点A重合．
▲操作一：固定三角板ABC，将三角板DEF沿AC方向平移，使直角边ED刚好过B点，如图2所示；
[探究一]三角板DEF沿A→C方向平移的距离为

；
▲操作二：将三角板DEF沿A→C方向平移至一定位置后，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC交于点Q；
[探究二]在旋转过程中，
（1）如图3，当

=1时，请判断下列结论是否正确（用“√”或“×”表示）：
①EP=EQ；

②四边形EPBQ的面积不变，且是△ABC面积的一半；

（2）如图4，当

=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由．
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

=m时，EP与EQ满足的数量关系式为

；（直接写出结论，不必证明）

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学校围墙边有一个直角三角形的花圃（如图1所示的Rt△ABC），其中斜边AB借助围墙，两条直角边AC和BC用铁栅栏围成，已知AB=10米，AC=8米．
（1）求这个直角三角形花圃的面积．
（2）现在要将这个直角三角形花圃扩充成等腰三角形，设计方案要求斜边AB不变，只能延长两条直角边中的一条．图2是已经设计好的一种方案：延长BC到P，使PA=PB，把花圃扩充成等腰△PAB．设CP的长为x米，请你求出x的值，并计算△PAB的面积．
（3）请你仿照（2）中的方法，设计符合（2）中要求的方案，在下列各图中
画出扩充后的等腰三角形花圃△PAB的示意图，并直接写出△PAB的面积．

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学校围墙边有一个直角三角形的花圃（如图1所示的Rt△ABC），其中斜边AB借助围墙，两条直角边AC和BC用铁栅栏围成，已知AB=10米，AC=8米．
（1）求这个直角三角形花圃的面积．
（2）现在要将这个直角三角形花圃扩充成等腰三角形，设计方案要求斜边AB不变，只能延长两条直角边中的一条．图2是已经设计好的一种方案：延长BC到P，使PA=PB，把花圃扩充成等腰△PAB．设CP的长为x米，请你求出x的值，并计算△PAB的面积．
（3）请你仿照（2）中的方法，设计符合（2）中要求的方案，在下列各图中
画出扩充后的等腰三角形花圃△PAB的示意图，并直接写出△PAB的面积．

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(2006重庆课改，28)(10分)如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成两个三角形(如图2所示)．将纸片沿直线(AB)方向平移(点A，，，B始终在同一条直线上)，当点与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，与交于点E，与、分别交于点F、P．

图1

图2

(1)当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的数量关系，并证明你的猜想；

图3

(2)设平移距离为x，重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

(3)对于(2)中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了！可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形．它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于正方形的面积即为2，则这个正方形的边长就是

，它是一个无理数．

（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长π，所以数轴上点O′代表的实数就是

，它是一个无理数．

（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据勾股定理可求得AB=

，它是一个无理数．

好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你是也试着在图形中作出两个无理数吧：
1、你能在6×8的网格图中（每个小正方形边长均为1），画出一条长为

的线段吗？

2、学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系．那么你能在数轴上找到表示 -

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